Les équations

Comprendre une équation

Une équation est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs valeurs inconnues. Ces valeurs sont généralement représentées par des lettres comme x, y ou z.

Par exemple :

x + 3 = 8

Cette écriture signifie que l'on cherche une valeur de x telle que l'égalité soit vraie.

Ici, la valeur recherchée est x = 5, car :

5 + 3 = 8

Le but de la résolution d'une équation est donc de trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

L'égalité

Que signifie le signe égal ?

Le signe = signifie que les expressions placées de chaque côté ont la même valeur.

Par exemple :

4 + 3 = 7

est une égalité vraie, car les deux côtés valent 7.

De même :

10 - 2 = 5 + 3

est une égalité vraie, puisque :

10 - 2 = 8

et :

5 + 3 = 8

Le signe égal peut donc être imaginé comme une balance en équilibre : ce qui se trouve à gauche doit avoir la même valeur que ce qui se trouve à droite.

Une égalité peut être vraie ou fausse

L'écriture :

6 + 2 = 8

est vraie.

En revanche :

6 + 2 = 10

est fausse.

Dans une équation, on cherche précisément la valeur de l'inconnue qui permet d'obtenir une égalité vraie.

Les deux membres d'une équation

Une équation possède deux parties séparées par le signe =.

Ces deux parties sont appelées les membres de l'équation.

Dans :

x + 4 = 12

on distingue :

x + 4 : le membre gauche ;

12 : le membre droit.

Le membre gauche

Le membre gauche est toute l'expression située à gauche du signe =.

Dans :

3x + 5 = 20

le membre gauche est :

3x + 5

Dans :

7 - 2x = x + 4

le membre gauche est :

7 - 2x

Le membre droit

Le membre droit est toute l'expression située à droite du signe =.

Dans :

3x + 5 = 20

le membre droit est :

20

Dans :

7 - 2x = x + 4

le membre droit est :

x + 4

Une inconnue peut donc apparaître dans le membre gauche, dans le membre droit ou dans les deux membres.

L'inconnue

Qu'est-ce qu'une inconnue ?

Une inconnue est une valeur que l'on ne connaît pas encore et que l'on cherche à déterminer.

Elle est généralement représentée par une lettre.

Dans :

x + 6 = 15

x est l'inconnue.

La question que l'on peut se poser est :

Quel nombre faut-il ajouter à 6 pour obtenir 15 ?

La réponse est 9.

On écrit donc :

x = 9

Une lettre représente un nombre

Dans une équation, la lettre n'est pas simplement un symbole : elle représente un nombre.

Par exemple :

2x = 14

signifie :

2 × x = 14

On cherche donc le nombre qui, multiplié par 2, donne 14.

Il s'agit de 7 :

2 × 7 = 14

Donc :

x = 7

En algèbre, on écrit généralement :

3x

au lieu de :

3 × x

Les deux écritures signifient exactement la même chose.

Ainsi :

5x + 2 = 17

signifie :

5 × x + 2 = 17

La solution d'une équation

Qu'est-ce qu'une solution ?

Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

Prenons :

x + 4 = 10

Essayons x = 6 :

6 + 4 = 10

L'égalité est vraie.

Donc 6 est une solution de l'équation.

On peut écrire :

x = 6

Une valeur qui ne fonctionne pas n'est pas une solution

Prenons toujours :

x + 4 = 10

Essayons maintenant x = 5 :

5 + 4 = 10

ce qui donnerait :

9 = 10

Cette égalité est fausse.

Donc 5 n'est pas une solution de l'équation.

Vérifier une solution

Pour savoir si une valeur est réellement solution d'une équation, on peut remplacer l'inconnue par cette valeur.

Prenons :

3x + 2 = 17

Supposons que l'on pense que :

x = 5

On remplace x par 5 :

3 × 5 + 2 = 17

On calcule :

15 + 2 = 17

puis :

17 = 17

L'égalité est vraie.

Donc x = 5 est bien une solution.

Exemple avec une mauvaise valeur

Pour la même équation :

3x + 2 = 17

essayons :

x = 4

On obtient :

3 × 4 + 2 = 17

soit :

12 + 2 = 17

puis :

14 = 17

Cette égalité est fausse.

Donc x = 4 n'est pas une solution.

Résoudre une équation

Résoudre une équation, c'est rechercher toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Dans une équation simple comme :

x + 2 = 7

on peut trouver mentalement que :

x = 5

car :

5 + 2 = 7

Mais les équations peuvent devenir plus complexes :

3x + 7 = 25

ou encore :

5x + 4 = 2x + 19

Il faut alors utiliser des règles permettant de transformer progressivement l'équation tout en conservant l'égalité.

Ces méthodes seront étudiées dans les chapitres suivants.

Une équation fonctionne comme une balance

Une bonne manière de comprendre une équation consiste à imaginer une balance parfaitement équilibrée.

Dans :

x + 3 = 8

le membre gauche et le membre droit ont la même valeur.

Si l'on modifie un seul côté, l'équilibre est rompu.

En revanche, si l'on effectue la même opération sur les deux membres, l'égalité est conservée.

Par exemple, à partir de :

x + 3 = 8

on peut retirer 3 des deux côtés :

x + 3 - 3 = 8 - 3

On obtient :

x = 5

L'équation a changé de forme, mais l'équilibre a été conservé.

Pour conserver une égalité, toute opération effectuée sur un membre doit également être effectuée sur l'autre membre.

Cette règle est à la base de presque toutes les méthodes de résolution d'équations.

Reconnaître les éléments d'une équation

Prenons l'équation :

4x + 3 = 19

On peut identifier :

x : l'inconnue ;

4x + 3 : le membre gauche ;

19 : le membre droit ;

= : le signe qui indique que les deux membres ont la même valeur.

La solution est :

x = 4

car :

4 × 4 + 3 = 19

soit :

16 + 3 = 19

et donc :

19 = 19

À retenir

Une équation est une égalité contenant une valeur inconnue.

L'inconnue est généralement représentée par une lettre, souvent x.

Le membre gauche se trouve à gauche du signe = et le membre droit se trouve à droite.

Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

Pour vérifier une solution, on remplace l'inconnue par la valeur proposée et on vérifie que les deux membres donnent le même résultat.

Enfin, une équation doit être considérée comme une égalité à préserver : lorsqu'on effectuera des transformations pour la résoudre, il faudra conserver l'équilibre entre ses deux membres.